Calcul des variations - Application à la mécanique et à la physique

Le calcul des variations constitue un outil de présentation, élégant et fécond, de très nombreux domaines de la Physique et de la Mécanique (Mécanique Analytique, Mécanique des Milieux Continus, Optique Géométrique, Champ Électromagnétique, Relativité restreinte et générale) et figure au cœur même de plusieurs disciplines, notamment la Mécanique Rationnelle, la formulation des principes variationnels en Mécanique des Milieux Continus, le problème de la Stabilité et des conditions d'apparition de bifurcations. C'est aussi une technique de résolution commode de nombreux problèmes particuliers, calcul de surfaces minimales, équilibre et stabilité de systèmes comportant des énergies de surface et de volume etc. Orienté vers les applications, Calcul des Variations a pour origine un cours enseigné à l'École Polytechnique. L'ouvrage traite des équations d'Euler-Lagrange, des liaisons ou contraintes et multiplicateurs de Lagrange, de la méthode de Hamilton-Jacobi, de la seconde variation appliquée notamment aux problèmes de stabilité. Deux chapitres sont consacrés respectivement à la Mécanique Analytique et à l'Optique Géométrique ; un chapitre donne les bases d'une formulation intrinsèque des équations d'Euler-Lagrange et de l'Action dans les principales branches de la Physique ; de nombreux exercices utilisent le calcul des variations dans des domaines variés de la Mécanique et de la Physique
SOMMAIRE
Introduction. 1 Équation d'Euler-Lagrange. Introduction. L'équation d'Euler-Lagrange. Cas particulier (intégrales premières). Cas de plusieurs variables. Variation générale d'une intégrale d'action. Dérivées d'ordre supérieur à un. Cas de plusieurs variables d'espace. Résumé. Exercices. 2. Contraintes. Introduction. Extrémales régulières par morceaux. Autres problèmes admettant des solutions à dérivée. Conditions portant sur les extrémités. Contraintes. Résumé. Exercices. 3. Mécanique analytique. Cinématique. Principe des puissances virtuelles. Liaisons. Équations de Lagrange. Récapitulation. Intégration des équations de Lagrange. Exercices. 4. Hamiltonien et méthode de Hamilton-Jacobi. Méthode de Hamilton-Jacobi. Transformations canoniques. L'action réduite comme fonction génératrice. Extrémales et transversales. Résumé. Exercices. 5. Principe de Maupertuis. Principe de Maupertuis. Optique géométrique (points de vue de Fermat et Huygens). Exercices. 6. Seconde variation. Conditions de Legendre et de Jacobi. Recherche des points conjugués. Généralisations. Variation seconde de l'action fonction des coordonnées. Minimum fort. Problème en vitesse. Résumé. Exercices. 7. Formulaire des principes physiques. Compléments sur l'équation d'Euler-Lagrange. Connexion et métrique. Lagrangien homogène. Exercices. Bibliographie.